Définitions
Oscillation
Loi de Hooke
\(\triangleright\) Définition d'un oscillateur harmonique
Un oscillateur harmonique est un oscillateur pemettant de décrire tout système physique au voisinage d'une position d'équilibre.
Un oscillateur harmonique est un modèle qui néglige les forces dissipatives.
Formalisme mathématique
\(\triangleright\) Equation du mouvement d'un oscillateur harmonique
Pour l'oscillateur harmonique, les forces de frottements sont négligées.
On a donc:
$${{\ddot x+\omega_0^2x=0}}$$
$$x(t)=C.\cos(\omega_0t+\phi)$$
Avec:- \(\omega_0= {{\sqrt\frac{k}{m} }}\): la pulsation propre
- \(k\): la constante de raideur
- \(m\): la masse du mobile en mouvement
- \(C\), \(\phi\): constantes (Amplitude, phase)
:
Retrouver l'équation du mouvement d'un oscillateur harmonique
![](.\Img\Pasted image 20230117105012.png)
1
A \(t\gt 0\), le mobile est en \(M\):
D'après la
Loi de Hooke:
$$\vec T=-k\vec {OM}$$
On sait aussi: \(\vec {OM}= x(t)\vec i\)
2
On applique
Deuxième loi de Newton - Principe fondamental de la dynamique:
$$m\frac{d^2\vec{OM} }{dt^2}=\vec T=-k\vec{OM}$$
On projett selon \(\vec i\):
$$m\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0$$
3
On pose: \(\omega_0=\sqrt\frac{k}{m}\)
Finalement on retrouve:
$$\ddot x+\omega_0^2x=0$$
Limites
Le modèle de l'oscillateur harmonique suppose que le système étudié est conervatif.
Or, un système réel n'est jamais conservatif mais dissipatif.
Cela se traduit par un armortissement de l'amplitude d'oscillation.
On définit alors les
Oscillateurs amortis
Exemples
On peut modéliser plusieurs systèmes par le modèle de l'oscillateur harmonique lorque que l'on néglige certains aspects:
- Objet flottant
- Pendule
- Circuit LC
- Bouteille d'Helmotz